Question

19．已知x，y∈R⁺，$\overrightarrow{a}$=（x，1），$\overrightarrow{b}$=（1，y-1），若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值为4．

Answer 1

分析 根据向量的数量积的运算得到x+y=1，再由（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）（x+y）=2+$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$，根据基本不等式可得答案．

解答 解：$\overrightarrow{a}$=（x，1），$\overrightarrow{b}$=（1，y-1），$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=x+y-1=0，
即x+y=1，
∵x，y∈R⁺，
∴（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）（x+y）=2+$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥2+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{x}{y}}$=4，当且仅当x=y=$\frac{1}{2}$时取等号．
故答案为：4．

点评 本题为基本不等式求最值的应用，注意“1”的代入是解决问题的关键，属中档题．