Question

7．已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，BC=3，AA₁=5，则异面直线BD₁与AC所成角的余弦值为$\frac{{7\sqrt{2}}}{50}$．

Answer 1

分析 建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AC与BD₁所成角的余弦值．

解答 解：建立如图坐标系，
∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，BC=3，AA₁=5，
∴D₁（0，0，5），B（3，4，0），
A（3，0，0），C（0，4，0），
∴$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-3，-4，5），$\overrightarrow{AC}$=（-3，4，0）．
∴cos＜$\overrightarrow{B{D}_{1}}$，$\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{9-16}{\sqrt{9+16+25}•\sqrt{9+16}}$=-$\frac{{7\sqrt{2}}}{50}$．
∴AC与BD₁所成角的余弦值$\frac{{7\sqrt{2}}}{50}$．
故答案为：$\frac{{7\sqrt{2}}}{50}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．