Question

2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcosC+（2a+c）cosB=0．
（1）求角B的度数；
（2）若b=3，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理求得cosB的值，从而求得B．
（2）由余弦定理，基本不等式可求ac≤3，进而利用三角形面积公式，即可计算得面积的最大值．

解答 （本小题满分14分）
解：（1）因为bcosC+（2a+c）cosB=0，
由正弦定理sinBcosC+（2sinA+sinC）cosB=0，…（2分）
所以sinBcosC+sinCcosB+2sinAcosB=0，
sin（B+C）+2sinAcosB=0，2sinAcosB+sinA=0，…（4分）
因为0°＜A＜180°，
所以sinA≠0，
所以$cosB=-\frac{1}{2}$，
又0°＜B＜180°，
所以B=120°．…（6分）
（2）由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，
即${3^2}={a^2}+{c^2}-2ac×（-\frac{1}{2}）={a^2}+{c^2}+ac$，…（8分）
又a²+c²+ac≥2ac+ac=3ac，
所以ac≤3，当且仅当a=c时等号成立，
即当$a=c=\sqrt{3}$时，ac的最大值为3．…（12分）
${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{{\sqrt{3}}}{4}ac≤\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，
所以S_△ABC的最大值为$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．…（14分）

点评 本题主要考查了正弦定理，两角和正弦函数公式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．