Question

17．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，f′（x）为其导函数，当x＞0时，f（x）+x•f′（x）＞0，且f（1）=0，则不等式x•f（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可得函数g（x）=xf（x）是R上的奇函数，画出函数g（x）=xf（x）的单调性的示意图，数形结合求得不等式x•f（x）＞0的解集．

解答 解：∵（x•f（x））′=f（x）+x•f′（x）＞0，
故函数g（x）=xf（x）在（0，+∞）上单调递增．
再根据函数f（x）是定义在R上的偶函数，
可得函数g（x）=xf（x）是R上的奇函数，
故函数g（x）=xf（x）是R上的奇函数，
故函数g（x）=xf（x）在（-∞，0）上单调递增．
∵f（1）=0，∴f（-1）=0，
故函数y=xf（x）的单调性的示意图，如图所示：
由不等式x•f（x）＞0，
可得 x与f（x）同时为正数或同时为负数，∴x＞1，或-1＜x＜0，
故不等式x•f（x）＞0的解集为：（-1，0）∪（1，+∞），
故答案为：（-1，0）∪（1，+∞）．

点评 本题主要考查函数的奇偶性的性质，函数的导数与单调性的关系，属于中档题．