Question

7．已知定义域为R的函数f（x）=$\frac{{-{2^x}+n}}{{{2^{x+1}}+m}}$是奇函数．
①求m、n的值；
②若对任意的t∈（1，2），不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数奇偶性的性质建立方程关系即可求m、n的值；
（2）根据函数解析式求出函数的单调性，利用参数分离法进行求解即可．

解答 解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0
即$\frac{-1+n}{2+m}$=0，∴n=1，
∴f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+m}$，
∵f（1）=-f（-1），
∴$\frac{-2+1}{4+m}$=-$\frac{-\frac{1}{2}+1}{1+m}$，
∴m=2…（5分）
（2）由①知$f（x）=\frac{{-{2^x}+1}}{{{2^{x+1}}+2}}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2^x}+1}}$
由上式知f（x）在（-∞，+∞）上为减函数
∵f（x）是奇函数
∴f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0等价于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（-2t²+k）
又∵f（x）在（-∞，+∞）上为减函数
由上式推得t²-2t＞-2t²+k，即对一切t∈（1，2）有3t²-2t＞k恒成立
令u（t）=3t²-2t，t∈（1，2）
则函数u（t）=3t²-2t在（1，2）上单调递增
∴u（t）＞1
∴实数k的取值范围为{k|k≤1}…（12分）

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及不等式恒成立，利用函数奇偶性的定义建立方程关系是解决本题的关键．