Question

12．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．
（1）证明PA∥平面BDE；
（2）证明：DE⊥面PBC；
（3）求直线AB与平面PBC所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）连结AC，设AC与BD交于O点，连结EO，易证EO为△PAC的中位线，从而OE∥PA，再利用线面平行的判断定理即可证得PA∥平面BDE；
（2）依题意，易证DE⊥底面PBC，再利用面面垂直的判断定理即可证得平面BDE⊥平面PBC；
（3）将几何体放到正方体中，则可得直线AB与平面PBC所成角的大小．

解答 （1）证明：连结AC，设AC与BD交于O点，连结EO，
由O，E分别为AC，CP中点，
∴OE∥PA
又OE?平面EDB，PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB．（5分）
（2）证明：由PD⊥平面ABCD∴PD⊥BC又CD⊥BC，
∴BC⊥平面PCD，DE⊥BC．（8分）
由PD=DC，E为P中点，故DE⊥PC．
∴DE⊥平面PBC（10分）
（3）解：将几何体放到正方体中，则可得直线AB与平面PBC所成角的大小为45°．（14分）

点评 本题主要考查线与线，线与面，面与面的位置关系和线面平行和线面垂直的判定定理的灵活运用，培养学生形成知识网络及知识间相互转化的能力．