Question

18．已知函数f（n）=n²sin$\frac{nπ}{2}（{n∈{N^*}}$），且a_n=f（n）+f（n+1），则a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₆的值为4023．

Answer 1

分析 f（n）=n²sin$\frac{nπ}{2}（{n∈{N^*}}$），可得f（2k）=4k²sinkπ=0，k∈N^*，f（2k-1）=（2k-1）²（-1）^k-1．又a_n=f（n）+f（n+1），可得a_2k-1=（2k-1）²（-1）^k-1，a_2k=（2k+1）²（-1）^k．可得：a_2k-1+a_2k=（-1）^k•8k．即可得出．

解答 解：∵f（n）=n²sin$\frac{nπ}{2}（{n∈{N^*}}$），
∴f（1）=1，f（2）=0，f（3）=-3²，f（4）=0，…，
可得f（2k）=4k²sinkπ=0，k∈N^*，f（2k-1）=（2k-1）²$sin\frac{（2k-1）π}{2}$=（2k-1）²（-1）^k-1．
又a_n=f（n）+f（n+1），
∴a_2k-1=f（2k-1）+f（2k）=（2k-1）²（-1）^k-1，a_2k=f（2k）+f（2k+1）=（2k+1）²（-1）^k．
∴a_2k-1+a_2k=（2k-1）²（-1）^k-1+（2k+1）²（-1）^k=（-1）^k•8k．
则a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₆=8×[-1+2-3+4+…-1007+1008]=4032．-．
故答案为：4032．

点评 本题考查了递推关系、三角函数求值、分组求和，考查了分类讨论方法、猜想归纳推理能力与计算能力，属于中档题．