Question

12．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+x+1}{{e}^{x}}$．
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若曲线y=f（x）与直线y=b（b∈R）有3个交点，求实数b的取值范围；
（3）过点P（-1，0）可作几条直线与曲线y=f（x）相切？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用导数的正负求函数y=f（x）的单调区间；
（2）确定函数的极值，利用曲线y=f（x）与直线y=b（b∈R）有3个交点，求实数b的取值范围；
（3）设切点，求出切线方程，确定切点的个数，即可确定过点P（-1，0）可作几条直线与曲线y=f（x）相切．

解答 解：（1）f′（x）=（x-x²）e^-x，
由f′（x）＞0，可得0＜x＜1，f′（x）＜0，可得x＜0或x＞1，
∴函数的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（-∞，0），（1，+∞）；
（2）由（1），f（0）=1，f（1）=$\frac{3}{e}$，
∵曲线y=f（x）与直线y=b（b∈R）有3个交点，
∴1＜b＜$\frac{3}{e}$；
（3）设切点为（m，n），则f′（m）=（m-m²）e^-m，
∴切线方程为y-n=（m-m²）e^-m（x-m），
代入（-1，0），整理可得m³+m²+1=0，
设g（m）=m³+m²+1，g′（m）=3m²+2m，
由g′（m）＞0，可得m$＜-\frac{2}{3}$或m＞0，g′（m）＜0，可得-$\frac{2}{3}$＜m＜0，
∴函数g（m）的单调递减区间是（-$\frac{2}{3}$，0），单调递增区间是（-∞，-$\frac{2}{3}$），（0，+∞）；
∵g（-$\frac{2}{3}$）＞0，g（0）＞0，
∴g（m）=0有唯一解，
∴过点P（-1，0）可作1条直线与曲线y=f（x）相切．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，切线方程的求法，函数的单调性以及函数的最值，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用，是难度比较大的题目．