Question

20．对x∈R，f（x）满足f（x）=-f（x+1），且当x∈（-1，0]时，f（x）=x²+2x，求当x∈[9，11]的解析式．

Answer 1

分析 利用函数性质得出f（x）在（0，1]上的解析式和周期，利用函数周期得出f（x）在[9，11]上的解析式．

解答 解：∵f（x）=-f（x+1），∴f（x+1）=-f（x+2），
∴f（x）=f（x+2），
∴f（x）是以2为周期的函数．
设x∈（0，1]，则x-1∈（-1，0]，
∴f（x-1）=（x-1）²+2（x-1）=x²-1，
∴当x∈（0，1]时，f（x）=-f（x-1）=1-x²．
又f（x）的周期为2，
∴当x∈[9，10]时，f（x）=f（x-10）=（x-10）²+2（x-10）=x²-18x+80，
当x∈（10，11]时，f（x）=f（x-10）=1-（x-10）²=-x²+20x-99．
∴f（x）在[9，11]上的解析式为：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-18x+80，9≤x≤10}\\{-{x}^{2}+20x-99，10＜x≤11}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了函数解析式与函数周期的关系，属于中档题．