Question

15．已知圆C：x²+y²-6x+4y+12=0，点P在圆上，求点P到直线l：x+y-5=0的最大距离和最小距离，并求最远点及最近点的坐标．

Answer 1

分析 在圆C：x²+y²-6x+4y+12=0上，与直线l：x+y-5=0的距离最小、最大的点，必在过圆心与直线l：x+y-5=0的垂直的直线上，求此线与圆的交点即可；最小（大）值为圆心到直线的距离减去（加上）半径，所以只要求得圆心到直线的距离即可．

解答 解：圆C：x²+y²-6x+4y+12=0，可化为（x-3）²+（y+2）²=1
圆的圆心C（3，-2），r=1，过圆心与直线l：x+y-5=0垂直的直线方程：x-y-5=0，
它与x²+y²-6x+4y+12=0联立，可得2x²-12x+17=0，x=3±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
直线l上到圆C距离最小的点的坐标是（3-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），最小距离为$\frac{|3-2-5|}{\sqrt{2}}$-1=2$\sqrt{2}$-1．
直线l上到圆C距离最大的点的坐标是（3+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$），最大距离为$\frac{|3-2-5|}{\sqrt{2}}$+1=2$\sqrt{2}$+1．

点评 本题考查点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，直线的方程等知识，是中档题．