Question

1．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2x-$\sqrt{2}$y+6=0相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点A，B为动直线y=k（x-2）（k≠0）与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在点E，使$\overrightarrow{EA}$²+$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{AB}$为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）求得圆O的方程，由直线和圆相切的条件：d=r，可得a的值，再由离心率公式，可得c的值，结合a，b，c的关系，可得b，由此能求出椭圆的方程；
（2）由直线y=k（x-2）和椭圆方程，得（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出在x轴上存在点E，使$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{EB}$为定值，定点为（$\frac{7}{3}$，0）．

解答 解：（1）由离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，得$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
即c=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，①
又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x²+y²=a²，
且与直线$2x-\sqrt{2}y+6=0$相切，
所以$a=\frac{6}{{\sqrt{{2^2}+{{（\sqrt{2}）}^2}}}}=\sqrt{6}$，代入①得c=2，
所以b²=a²-c²=2．
所以椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=6}\end{array}\right.$，可得（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，
△=144k⁴-4（1+3k²）（12k²-6）＞0，即为6+6k²＞0恒成立．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
所以x₁+x₂=$\frac{12{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12{k}^{2}-6}{1+3{k}^{2}}$，
根据题意，假设x轴上存在定点E（m，0），
使得${\overrightarrow{EA}^2}+\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EA}•（\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}）=\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{EB}$为定值，
则有$\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{EB}$=（x₁-m，y₁）•（x₂-m，y₂）=（x₁-m）•（x₂-m）+y₁y₂
=（x₁-m）（x₂-m）+k²（x₁-2）（x₂-2）
=（k²+1）x₁x₂-（2k²+m）（x₁+x₂）+（4k²+m²）
=（k²+1）•$\frac{12{k}^{2}-6}{1+3{k}^{2}}$-（2k²+m）•$\frac{12{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$+（4k²+m²）
=$\frac{（3{m}^{2}-12m+10）{k}^{2}+（{m}^{2}-6）}{1+3{k}^{2}}$，
要使上式为定值，即与k无关，则应3m²-12m+10=3（m²-6），
即$m=\frac{7}{3}$，此时$\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{EB}$=${m^2}-6=-\frac{5}{9}$为定值，定点E为$（\frac{7}{3}，0）$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的定点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、向量的数量积、椭圆性质的合理运用．