Question

10．已知{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；       
（Ⅱ）求数列{a_n•2ⁿ}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设{a_n}的公差为d，由题意得（1+2d）²=1（1+8d），可求得d=1，故可求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法，即可求出数列{a_n•2ⁿ}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，由题意得（1+2d）²=1（1+8d），
得d=1或d=0（舍去），
∴{a_n}的通项公式为a_n=1+（n-1）d=n．
（Ⅱ）∵a_n•2ⁿ=n•2ⁿ，
∴T_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
∴2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减得-T_n=2¹+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=-2+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查数列的前n项和的求法，等差数列和等比数列的性质，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减求和法的合理运用．