Question

20．在纸箱内装有10个大小相同的黑球、白球和红球，已知从箱中任意摸出1个球，得到黑球的概率是$\frac{2}{5}$，从箱中摸出2个球，至少得到1个白球的概率是$\frac{8}{15}$．
（1）求箱中各色球的个数；
（2）从箱中任意摸出3个球，记白球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）从箱中任意摸出1球得到黑球的概率是$\frac{2}{5}$，设黑球个数为x，则$\frac{x}{10}$=$\frac{2}{5}$，解得x．设白球的个数为y，从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是$\frac{8}{15}$，可得$\frac{{∁}_{y}^{2}+{∁}_{y}^{1}{∁}_{10-y}^{1}}{{∁}_{10}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，1≤y≤6，解得y，即可得出．
（2）由题设知ξ的所有取值是0，1，2，3，利用超几何分布列的计算公式即可得出，进而得出数学期望．

解答 解：（1）∵从箱中任意摸出1球得到黑球的概率是$\frac{2}{5}$，
设黑球个数为x，则$\frac{x}{10}$=$\frac{2}{5}$，解得x=4．
设白球的个数为y，从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是$\frac{8}{15}$，
则$\frac{{∁}_{y}^{2}+{∁}_{y}^{1}{∁}_{10-y}^{1}}{{∁}_{10}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，1≤y≤6，解得y=3．
∴箱中黑球4个，白球3个，红球3个．
（2）由题设知ξ的所有取值是0，1，2，3，
则：P（ξ=0）=$\frac{{∁}_{7}^{3}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{24}$，P（ξ=1）=$\frac{{∁}_{3}^{1}{∁}_{7}^{2}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{21}{40}$，P（ξ=2）=$\frac{{∁}_{3}^{2}{∁}_{7}^{1}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{40}$，P（ξ=3）=$\frac{{∁}_{3}^{3}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{120}$．
分布列表为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{7}{24}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{1}{120}$

E（ξ）=0×$\frac{7}{24}$+1×$\frac{21}{40}$+2×$\frac{7}{40}$+3×$\frac{1}{120}$=$\frac{9}{10}$．

点评 本题考查了离散型超几何分布列的计算公式、数学期望、古典概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．