Question

5．已知α为锐角，且cos（α+$\frac{π}{12}}$）=$\frac{3}{5}$，则sin2α的值为（　　）

• A． $\frac{{24-7\sqrt{3}}}{50}$
• B． $\frac{{24+7\sqrt{3}}}{50}$
• C． $\frac{{24\sqrt{3}-7}}{50}$
• D． $\frac{{24\sqrt{3}+7}}{50}$

Answer 1

分析 根据同角的三角函数的基本关系，利用三角恒等变换，即可求出sin2α的值．

解答 解：【方法一】α为锐角，且cos（α+$\frac{π}{12}}$）=$\frac{3}{5}$，
∴sin（α+$\frac{π}{12}$）=$\frac{4}{5}$，
∴cos（α+$\frac{π}{4}$）=cos（α+$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{6}$）
=$\frac{3}{5}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{2}$
=$\frac{3\sqrt{3}-4}{10}$，
∴sin2α=-cos2（α+$\frac{π}{2}$）
=1-2×${（\frac{3\sqrt{3}-4}{10}）}^{2}$
=$\frac{24\sqrt{3}+7}{50}$．
【方法二】α为锐角，且cos（α+$\frac{π}{12}}$）=$\frac{3}{5}$，∴sin（α+$\frac{π}{12}$）=$\frac{4}{5}$，
∴sin（2α+$\frac{π}{6}$）=2sin（α+$\frac{π}{12}$）cos（α+$\frac{π}{12}$）=2×$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{24}{25}$，
∴cos（2α+$\frac{π}{6}$）=2cos²（α+$\frac{π}{12}$）-1=2×${（\frac{3}{5}）}^{2}$-1=-$\frac{7}{25}$；
∴sin2α=sin[（2α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]
=sin（2α+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-cos（2α+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$
=$\frac{24}{25}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-（-$\frac{7}{25}$）×$\frac{1}{2}$
=$\frac{24\sqrt{3}+7}{50}$．
故选：D．

点评 本题考查了同角的三角函数基本关系与三角恒等变换的应用问题，是中档题．