Question

12．已知：向量$\overrightarrow{m}$=（cosx，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow{n}$=（2cosx，2cosx），函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）求y=f（x）对称中心坐标；
（Ⅱ）求y=f（x）在（$\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{12}$）上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据向量的数量积的运算以及三角形函数的性质即可求出答案；
（Ⅱ）先求出函数的单调区间，即可求出函数的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{m}$=（cosx，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow{n}$=（2cosx，2cosx），
∴函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2cos²x+$\sqrt{3}$×2sinxcosx=co2x-1+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1，
∴2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，
解得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z，
∴y=f（x）对称中心坐标为（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，-1），k∈Z，
（2）∵f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1，
∴2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$＜2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
即kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{6}$＜x＜kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
∴f（x）在[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]为增函数，在（kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，为减函数，k∈Z，
∴f（x）在（$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]单调递增，在（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{12}$）单调递减，
∴f（x）_max=f（$\frac{π}{6}$）=1，f（x）_min=f（$\frac{7π}{12}$）=-$\sqrt{3}$-1，
故y=f（x）在（$\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{12}$）上的值域为（-$\sqrt{3}$-1，1]．

点评 本题考查了向量的数量积和三角形函数的化简以及三角函数的性质，属于中档题．