Question

5．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-2x+a，x＜0}\\{-{x}^{2}+1+a，x≥0}\end{array}\right.$，且函数y=f（x）-x恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，+∞）
• B． [-1，0）
• C． [-1，+∞）
• D． [-2，+∞）

Answer 1

分析 利用二次函数的性质判断y=f（x）-x的单调性，根据零点个数判断y=f（x）-x在各单调区间端点的函数值的符号，列出不等式解出a的范围．

解答 解：令g（x）=f（x）-x=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-3x+a，x＜0}\\{-{x}^{2}-x+1+a，x≥0}\end{array}\right.$，
则g（x）在（-∞，-$\frac{3}{2}$）上单调递增，在（-$\frac{3}{2}$，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递减，
∵g（x）有三个不同的零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{9}{4}+\frac{9}{2}+a＞0}\\{a＜0}\\{1+a≥0}\end{array}\right.$，解得-1≤a＜0．
故选B．

点评 本题考查了二次函数的性质，零点的存在性定理，属于中档题．