Question

5．已知函数f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-1（x∈R），
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，
（Ⅰ）由此求出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根据x的取值范围，求出2x+$\frac{π}{6}$的取值范围，再根据正弦函数的图象与性质，即可求出f（x）的值域．

解答 解：函数f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-1
=2•$\frac{1+cos2x}{2}$+$\sqrt{3}$sin2x-1
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），（x∈R）；
（Ⅰ）则函数f（x）的最小正周期为
T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}$=π；
（Ⅱ）当x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]时，
∴2x∈[-$\frac{π}{6}$，π]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[0，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[0，1]，
∴2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[0，2]，
即函数f（x）在区间[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的值域是[0，2]．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，是基础题目．