Question

18．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-bx+c（b，c∈R）．
（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+1，求b，c的值；
（2）若b=1，函数f（x）在区间（0，2）内有唯一零点，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用导数的几何意义及切点坐标，求b，c的值；
（2）f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，又$f（0）=c＜f（2）=\frac{2}{3}+c$，可知f（x）在区间（0，2）内有唯一零点等价于f（1）=0或$\left\{{\begin{array}{l}{f（0）≤0}\\{f（2）＞0}\end{array}}\right.$，即可求c的取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=x²-b，所以f′（1）=1-b=2，得b=-1
又f（1）=2+1=3，所以$\frac{1}{3}-b+c=3$，得$c=\frac{5}{3}$（3分）
（2）因为b=1所以$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-x+c$，f′（x）=x²-1．
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增
又$f（0）=c＜f（2）=\frac{2}{3}+c$，可知f（x）在区间（0，2）内有唯一零点等价于f（1）=0或$\left\{{\begin{array}{l}{f（0）≤0}\\{f（2）＞0}\end{array}}\right.$，
得$c=\frac{2}{3}$或$-\frac{2}{3}＜c≤0$（9分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及导数的几何意义，考查分析问题解决问题的能力．