Question

7．如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC=2，EA⊥EB．
（1）求证：AB⊥DE；
（2）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；
（3）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出$\frac{EF}{EA}$；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点O，连结EO，则可证OE⊥AB，OD⊥AB，故而AB⊥平面ODE，故而AB⊥DE；
（2）由面面垂直的性质可得BC⊥平面ABE，故∠BEC为直线EC与平面ABE所成角，求出BC，CE，继而可求出sin∠BEC；
（3）假设AE上存在点F，使得EC∥平面BDF．连结AC交BD于M，连结BF，DF，MF．由线面平行性质得出CE∥MF，于是$\frac{EF}{FA}=\frac{CM}{AM}=\frac{CD}{AB}=\frac{1}{2}$，从而$\frac{EF}{EA}=\frac{1}{3}$．

解答 解：（1）证明：取AB的中点O，连结EO，
∵EA=EB，O为AB的中点，
∴EO⊥AB，
∵AB∥CD，CD=BC=$\frac{1}{2}$AB，AB⊥BC，
∴四边形OBCD是正方形，
∴AB⊥OD．
又OE?平面ODE，OD?平面ODE，OD∩OE=O，
∴AB⊥平面ODE，又DE?平面ODE，
∴AB⊥DE．
（2）∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊥AB，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面ABE，
∴∠CEB为EC与平面ABE所成的角，
连结OC，则OC=$\sqrt{2}$，OE=1，∴CE=$\sqrt{O{C}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴sin∠CEB=$\frac{BC}{CE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（3）假设AE上存在点F，使得EC∥平面BDF．
连结AC交BD于M，连结BF，DF，MF．
∵EC∥平面BDF，EC?平面ACE，平面ACE∩平面BDF=MF，
∴EC∥MF，
∴$\frac{EF}{FA}=\frac{CM}{AM}$，
又△CDM∽△ABM，
∴$\frac{CM}{AM}=\frac{CD}{AB}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{EF}{FA}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{EF}{EA}=\frac{1}{3}$．
∴线段EA上存在点F，使EC∥平面FBD，$\frac{EF}{EA}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了线面平行，面面平行的性质，线面角的计算，属于中档题．