Question

8．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为是$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．
（1）判断直线l与曲线C的位置关系；
（2）在曲线C上求一点P，使得它到直线l的距离最大，并求出最大距离．

Answer 1

分析 （1）把直线l参数方程化为普通方程，曲线C极坐标方程化为普通方程，求出圆心C到直线l的距离d，与r比较大小即可作出判断；
（2）圆上一点P到直线l距离最大为d+r，求出过圆心与直线l垂直的直线方程，与圆方程联立确定出此时P的坐标即可．

解答 解：（1）根据题意得：直线l的方程为x-y-1=0，曲线C的方程为x²+（y-2）²=4，
即圆心C（0，2），半径r=2，
∵圆心C到直线l的距离d=$\frac{|0-2-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}$＞2=r，
∴直线l与曲线C相离；
（2）根据题意得：点P到直线l的最大距离为d+r=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+2，
过圆心且垂直于直线l的直线方程为y=-x+2，
联立得：$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{（y-2）^2}=4\\ y=-x+2\end{array}\right.$，
消去y得：x²=4，
解得：x=-$\sqrt{2}$（正值不合题意，舍去），
则在曲线C上存在一点P（-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$），
使得它到直线l的距离最大为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+2．

点评 此题考查了参数方程化为普通方程，以及极坐标方程化为普通方程，熟练掌握直线与圆的位置关系是解本题的关键．