Question

13．已知△ABC的三顶点是A（-1，-1），B（3，1），C（1，6）．直线l平行于AB，交AC，BC分别于E，F，△CEF的面积是△CAB面积的$\frac{1}{4}$．求：
（ 1）直线AB边上的高所在直线的方程．
（2）直线l所在直线的方程．

Answer 1

分析 （1）先由斜率公式求出斜率，然后点斜式写出方程即可；
（2）由平行和斜率公式易得直线EF的斜率为$\frac{1}{2}$，再由面积易得E是CA的中点，可得点E的坐标，进而可得直线的点斜式方程，化为一般式即可．

解答 解：（1）∵A（-1，-1），B（3，1），C（1，6），
∴k_AB=$\frac{1+1}{3+1}=\frac{1}{2}$．
∴AB边上的高所在的直线的斜率k=$-\frac{1}{{k}_{AB}}$=-2．
∴AB边上的高所在的直线方程为：y-6=-2（x-1），即2x+y-8=0；
（2）由（1）知直线AB的斜率k_AB=$\frac{1}{2}$，
∵EF∥AB，∴直线EF的斜率为$\frac{1}{2}$．
∵△CEF的面积是△CAB面积的$\frac{1}{4}$，
∴E是CA的中点，∴点E的坐标是（0，$\frac{5}{2}$）．
∴直线EF的方程是 y-$\frac{5}{2}$=$\frac{1}{2}$x，即x-2y+5=0．
∴直线l所在直线的方程为：x-2y+5=0．

点评 本题考查了直线的一般式方程，考查了直线斜率公式以及直线方程的求法，涉及平行关系和中点公式，属于中档题．