Question

1．证明：
（1）$\sqrt{3}-\sqrt{2}$＞$\sqrt{5}-\sqrt{4}$
（2）$\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}$＜$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$．

Answer 1

分析 使用分析法寻找使不等式成立的条件，只需条件恒成立即可；

解答 证明：（1）欲证$\sqrt{3}-\sqrt{2}$＞$\sqrt{5}$-$\sqrt{4}$，
只需证（$\sqrt{3}-\sqrt{2}$）²＞（$\sqrt{5}$-$\sqrt{4}$）²，即证5-2$\sqrt{6}$＞9-4$\sqrt{5}$，
即证$\sqrt{6}$＞2（$\sqrt{5}$-1），
只需证6＞4（6-2$\sqrt{5}$），即证9＞4$\sqrt{5}$，
只需证81＞80，
显然81＞80恒成立，
∴$\sqrt{3}-\sqrt{2}$＞$\sqrt{5}$-$\sqrt{4}$．
（2）欲证$\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}$＜$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，
只需证（$\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}$）²＜（$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$）²，即证1-$\sqrt{（n+2）（n+1）}$＜-$\sqrt{n（n+1）}$，
只需证$\sqrt{（n+2）（n+1）}$＞$\sqrt{n（n+1）}$+1
只需证（n+2）（n+1）＞n（n+1）+1+2$\sqrt{n（n+1）}$，
即证n+1＞$\sqrt{n（n+1）}$，
只需证（n+1）²＞n（n+1），即证n+1＞n，
只需证1＞0，
显然1＞0恒成立，
∴$\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}$＜$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$．

点评 本题考查了不等式的证明方法，属于中档题．