Question

3．已知f（n）=${（\frac{1+i}{1-i}）^{2n}}$+${（\frac{1-i}{1+i}）^{2n}}$（n∈N^*），则集合{f（n）}={-2，2}．

Answer 1

分析 化简$\frac{1+i}{1-i}$=$\frac{（1+i）^{2}}{（1-i）（1+i）}$=i，$\frac{1-i}{1+i}$=-i，代入即可得出．

解答 解：∵$\frac{1+i}{1-i}$=$\frac{（1+i）^{2}}{（1-i）（1+i）}$=$\frac{2i}{2}$=i，∴$\frac{1-i}{1+i}$=$\frac{1}{i}=-i$，
∴f（n）=${（\frac{1+i}{1-i}）^{2n}}$+${（\frac{1-i}{1+i}）^{2n}}$=i²ⁿ+（-i）²ⁿ=2（-1）ⁿ=±2，
∴集合{f（n）}={-2，2}．
故答案为：{-2，2}．

点评 本题考查了复数的运算法则，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．