Question

5．已知函数f（x）=2+log₃x（1≤x≤9），函数g（x）=f²（x）+f（x²），求函数g（x）的值域．

Answer 1

分析 由函数f（x）=1+log₃x的定义域是（1，9]，可求得g（x）的定义域，化简g（x）=f²（x）+f（x²）求值域．

解答 解：由已知函数f（x）的定义域为x∈{x|1≤x≤9}，
则g（x）的定义域满足$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤9}\\{1≤{x}^{2}≤9}\end{array}\right.$，
所以1≤x≤3，所以g（x）的定义域为{x||1≤x≤3}；
$g（x）={（2+{log_3}x）^2}+2+{log_3}{x^2}=log_3^2x+6{log_3}x+6$，
g（x）在x∈[1，3]单调递增，
则g（x）的最大值为g（x）_max=g（3）=13，
g（x）的最小值为g（x）_min=g（1）=6．
故g（x）的值域为[6，13]．

点评 本题考查对数的运算性质、二次函数的性质．正确的求出g（x）的定义域是关键，也是本题极易出错的地方．