Question

1．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AA₁=3，AB=AD=2，棱AD在平面α内，则长方体在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围是$4≤S≤2\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 由题意，四边形ABCD和ADD₁A₁的面积分别为4和6，长方体在平面α内的射影可由这两个四边形在平面α内的射影组合而成．分别求出最小与最大，即可求出长方体在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围．

解答 解：由题意，四边形ABCD和ADD₁A₁的面积分别为4和6，
长方体在平面α内的射影可由这两个四边形在平面α内的射影组合而成．显然，S_min=4．
若记平面ABCD与平面α所成角为θ，则平面ADD₁A₁与平面α所成角为$\frac{π}{2}$-θ．
它们在平面α内的射影分别为4cosθ和6cos（$\frac{π}{2}$-θ）=6sinθ，
所以，S=4cosθ+6sinθ=2$\sqrt{13}$sin（θ+φ）（其中，tanφ=$\frac{2}{3}$），
因此，S_max=2$\sqrt{13}$，当且仅当θ=$\frac{π}{2}$-φ时取到．
因此$4≤S≤2\sqrt{13}$．
故答案为：$4≤S≤2\sqrt{13}$．

点评 本题考查长方体在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围，考查三角函数知识，属中档题．