Question

6．如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率．
（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设A_i表示“此人于3月i日到达该市”，（i=1，2，…，13），根据题意，P（A_i）=$\frac{1}{13}$，且A_i∩_j=∅（i≠j），设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B=A₅∪A₈，由此能求出此人到达当日空气重度污染的概率．
（Ⅱ）由题意知X的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：：（Ⅰ）设A_i表示“此人于3月i日到达该市”，（i=1，2，…，13），
根据题意，P（A_i）=$\frac{1}{13}$，且A_i∩_j=∅（i≠j），
设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B=A₅∪A₈，
∴此人到达当日空气重度污染的概率：
P（B）=P（A₅）+P（A₈）=$\frac{1}{13}$+$\frac{1}{13}$=$\frac{2}{13}$．
（Ⅱ）由题意知X的所有可能取值为0，1，2，
P（X=1）=P（A₃∪A₆∪A₇∪A₁₁）=$\frac{4}{13}$，
P（X=2）=P（A₁∪A₂∪A₁₂∪A₁₃）=$\frac{4}{13}$，
P（X=0）=1-P（X=1）-P（X=2）=$\frac{5}{13}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{5}{13}$	$\frac{4}{13}$	$\frac{4}{13}$

EX=$0×\frac{5}{13}$+$1×\frac{4}{13}$+2×$\frac{4}{13}$=$\frac{12}{13}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的概率计算及其分布列、数学期望、古典概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．