Question

16．已知a，b，c为正数，且a+b+c=1．
（1）求$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$的最小值；
（2）求$\frac{1}{3a+2}$+$\frac{1}{3b+2}$+$\frac{1}{3c+2}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用柯西不等式的性质即可得出．
（2）变形利用柯西不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵a，b，c为正数，且a+b+c=1．
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=（a+b+c）$（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}）$≥3$（a×\frac{1}{a}+b×\frac{1}{b}+c×\frac{1}{c}）$=9，
当且仅当a=b=c=$\frac{1}{3}$时取等号．
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$的最小值为9．
（2）∵a，b，c为正数，且a+b+c=1．
∴$\frac{1}{3a+2}$+$\frac{1}{3b+2}$+$\frac{1}{3c+2}$=$\frac{1}{9}$（3a+2+3b+2+3c+2）$（\frac{1}{3a+2}+\frac{1}{3b+2}+\frac{1}{3c+2}）$
≥$\frac{1}{9}$×3×（1+1+1）=1，当且仅当3a+2=3b+2=3c+2=3，即a=b=c=$\frac{1}{3}$时取等号．
∴$\frac{1}{3a+2}$+$\frac{1}{3b+2}$+$\frac{1}{3c+2}$的最小值是1．

点评 本题考查了柯西不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．