Question

1．已知椭圆D：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的半焦距c=1，且a=$\sqrt{2}$b．
（1）求椭圆D的标准方程；
（2）过点M（0，m）且斜率为$\sqrt{2}$的直线l与椭圆D有两个不同的交点P和Q，若以PQ为直径的圆经过原点O，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：c=1，且a=$\sqrt{2}$b＞0，又a²=b²+c²，联立解出即可得出椭圆D的标准方程．
（2）由题意易知：直线l的方程为y=$\sqrt{2}$x+m．与椭圆方程联立可得：5x²+4$\sqrt{2}$mx+2（m²-1）=0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．由以PQ为直径的圆经过原点O可得：$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0．利用根与系数的关系代入即可解出．

解答 解：（1）由题意可知：c=1，且a=$\sqrt{2}$b＞0，又a²=b²+c²，
联立解得c=1，b=1，a=$\sqrt{2}$
所求椭圆D的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（2）由题意易知：直线l的方程为y=$\sqrt{2}$x+m．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{2}x+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，化简整理可得：5x²+4$\sqrt{2}$mx+2（m²-1）=0，
由△=$（4\sqrt{2}m）^{2}$-4×5×2（m²-1）=40-8m²＞0，可得：$-\sqrt{5}$＜m＜$\sqrt{5}$．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．∴x₁+x₂=$-\frac{4\sqrt{2}m}{5}$，x₁x₂=$\frac{2（{m}^{2}-1）}{5}$．
由以PQ为直径的圆经过原点O可得：OP⊥OQ．
从而$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+$（\sqrt{2}{x}_{1}+m）$$（\sqrt{2}{x}_{2}+m）$=3x₁x₂+$\sqrt{2}m$（x₁+x₂）+m²
=3×$\frac{2（{m}^{2}-1）}{5}$+$\sqrt{2}$m×（-$\frac{4\sqrt{2}m}{5}$）+m²=$\frac{3}{5}{m}^{2}$-$\frac{6}{5}$=0，
解得：m=$±\sqrt{2}$，满足△＞0．
故所求实数m的值为$±\sqrt{2}$．

点评 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量垂直于数量积之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．