Question

19．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+ax+b的图象在点P（0，f（0））处的切线方程是3x-y-2=0．
（1）求a、b的值；
（2）函数g（x）=f（x）+（m-3）x在（-2，+∞）上为增函数，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，点斜式求得切线方程，和已知的切线方程比较系数可得a、b值；
（2）求出g（x）的导数，问题转化为m≥-x²+2x在x∈（-2，+∞）上恒成立，求出h（x）=-x²+2x的最大值，从而求出m的范围即可．

解答 解：（1）∵f（0）=b，∴点P （0，b），
∵f′（x）=x²-2x+a，
∴函数f（x）的图象在点P处的切线斜率为 a，
故此处的切线方程为  y-b=a （x-0），
即 y=ax+b，
又已知此处的切线方程为y=3x-2，
∴a=3，b=-2．
（2）∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+3x-2，
∴g（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+3x-2+（m-3）x=$\frac{1}{3}$x³-x²+mx-2，
所以g′（x）=x²-2x+m，
又g（x）是（-2，+∞）上的增函数，
∴g′（x）≥0在x∈（-2，+∞）上恒成立，
即x²-2x+m≥0在x∈（-2，+∞）上恒成立，
即m≥-x²+2x在x∈（-2，+∞）上恒成立，
而h（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1在（-2，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴h（x）的最大值是h（1）=1，
故m≥1．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．