Question

6．设曲线y=2015xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，2015）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，令a_n=log₂₀₁₅x_n，则a₁+a₂+…a₂₀₁₄的值为-1．

Answer 1

分析 根据题设条件，利用导数先求出切线方程，进而求出x_n，从而得到a_n，再由对数的运算法则能求出结果．

解答 解：∵曲线y=2015xⁿ⁺¹（n∈N^*），
∴y′=2015（n+1）xⁿ，
∴y′|_x=1=2015（n+1），
∴曲线y=2015xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，2015）处的切线方程为：
y-2015=2015（n+1）（x-1），
令y=0，解得切线与x轴的交点的横坐标为x_n=x=$\frac{n}{n+1}$，
∵a_n=log₂₀₁₅x_n=log₂₀₁₅$\frac{n}{n+1}$，
∴a₁+a₂+…+a₂₀₁₄
=log₂₀₁₅$\frac{1}{2}$+log₂₀₁₅$\frac{2}{3}$+…+log₂₀₁₅$\frac{2014}{2015}$
=log₂₀₁₅（$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×…×$\frac{2014}{2015}$）
=-1．
故答案为：-1．

点评 本题考查数列求和，涉及到导数、对数、数列等知识点，是一道构思巧妙的好题．