Question

17．设a∈R，若对任意的x＞0时均有[（a-1）x-1]•（x²-ax-1）≥0，则a=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 a=1时，不等式不可能恒成立；a≠1，若对任意的x＞0时均有[（a-1）x-1]•（x²-ax-1）≥0，则函数y₁=（a-1）x-1，y₂=x²-ax-1，与x轴交于同一点，代入可得答案．

解答 解：（1）a=1时，代入题中不等式明显不恒成立．
（2）a≠1，构造函数y₁=（a-1）x-1，y₂=x²-ax-1，它们都过定点P（0，-1）．

考查函数y₁=（a-1）x-1：
令y=0，得M（$\frac{1}{a-1}$，0），
∴a＞1；
考查函数y₂=x²-ax-1，
∵x＞0时均有[（a-1）x-1]（x²-ax-1）≥0，
∴y₂=x²-ax-1过点M（$\frac{1}{a-1}$，0），代入得：（$\frac{1}{a-1}$）²-a•$\frac{1}{a-1}$-1=0，
解之得：a=$\frac{3}{2}$，或a=0（舍去）．
故答案为：$\frac{3}{2}$

点评 本题考查的知识点为函数恒成立问题，函数的图象和性质，分类讨论思想，数形结合思想，难度中档．