Question

5．已知函数f（x）满足f（x）=f（x+1）-f（x-1）（x∈R），且f（2）=1，则f（2012）=1．

Answer 1

分析 由题设条件知，可构造出f（x+1）=f（x）+f（x+2），与f（x）=f（x-1）+f（x+1）联立解出函数的周期，再求函数值．

解答 解：因为f（x）=f（x+1）-f（x-1）
所以f（x+1）=f（x+2）-f（x）即f（x+2）=-f（x+1）+f（x）
两式相加得f（x+2）=-f（x-1）
即：f（x+3）=-f（x）
∴f（x+6）=-f（x+3）=f（x）
f（x）是以6为周期的周期函数．
f（2）=1，2012=6×335+2，
∴f（2012）=f（2）=1．
故答案为：1．

点评 本题考查对抽象函数表达式的理解和运用，解题的关键是由恒等变形得出函数的周期，本题的难点观察出解题的方向是研究函数的周期性，此类题有一个明显的特征那就是题设条件中必有恒等式，且要求的函数值自变量与已知函数值的自变量差值较大，不可能通过恒等式变形求出，题后注意总结这一特征，方便以后遇到同类题时能快速想到解题的方法．