Question

10．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2t}\\{y=1-t}\end{array}\right.$（t为参数），椭圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），试在椭圆C上求一点P，使得点P到直线l的距离最小．

Answer 1

分析 首先，根据直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2t}\\{y=1-t}\end{array}\right.$（t为参数），化简为普通方程为：x+2y=4，然后，设P（2cosθ，sinθ），根据点到直线的距离求解即可．

解答 解：根据直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2t}\\{y=1-t}\end{array}\right.$（t为参数），得其普通方程为：x+2y=4，
设P（2cosθ，sinθ），
∴P到l的距离为d=$\frac{|2cosθ+2sinθ-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）-4|}{\sqrt{5}}$≥$\frac{4-2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，
当且仅当sin（θ+$\frac{π}{4}$）=1，即θ=2kπ+$\frac{π}{4}$时等号成立．
此时，sinθ=cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴P（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题重点考查了参数方程和普通的互化、点到直线的距离公式等知识，属于中档题．