Question

15．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N是棱A₁B₁，B₁B的中点，求异面直线AM和CN所成角的余弦值．

Answer 1

分析 如图所示，建立空间直角坐标系．利用向量的夹角公式即可得出．

解答 解：如图所示，建立空间直角坐标系．
不妨取AB=2，则D（0，0，0），A（2，0，0），M（2，1，2），
C（0，2，0），N（2，2，1），
$\overrightarrow{AM}$=（0，1，2），$\overrightarrow{CN}$=（2，0，1），
∴$cos＜\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{CN}＞$=$\frac{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{CN}}{|\overrightarrow{AM}||\overrightarrow{CN}|}$=$\frac{2}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}$=$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了空间位置关系、异面直线所成的角、向量的夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．