Question

4．如图，已知△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=$\frac{π}{2}$，点D是BC的中点，若向量$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+m$\overrightarrow{AC}$，且点M在△ACD的内部（不含边界），则$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}$的取值范围是（　　）

• A． （-2，4）
• B． （-2，6）
• C． （0，4）
• D． （0，6）

Answer 1

分析 在AB上取点P使得AP=$\frac{1}{4}AB$=1，以AP，AC为邻边方向作平行四边形，根据M的位置判断m的取值范围，用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{BM}$，代入数量积运算得出$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}$关于m的函数，求出该函数的值域即可．

解答 解：在AB上取点P使得AP=$\frac{1}{4}AB$，
过P作PN∥AC交AD于Q，交BC于N，分别作AB的平行线NF，EQ．
则M在线段NQ上（不含端点），
∵AB=AC=4，D为BC的中点，
∴AD平分∠BAC．
∴AE=AP=$\frac{1}{4}$AB=1，
$\frac{NP}{AC}=\frac{BP}{AB}=\frac{3}{4}$，∴NP=3，
∴AF=3．
∵$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+m$\overrightarrow{AC}$，
∴$\frac{1}{4}$＜m＜$\frac{3}{4}$．
∵$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}$=-$\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+m\overrightarrow{AC}$，
又$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=0，
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}$=（$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+m$\overrightarrow{AC}$）•（-$\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+m\overrightarrow{AC}$）=-$\frac{3}{16}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$+m²${\overrightarrow{AC}}^{2}$=16m²-3，
∵$\frac{1}{4}$＜m＜$\frac{3}{4}$，∴-2＜16m²-3＜6．
故选B．

点评 本题考查了平面向量线性运算的几何意义，平面向量的数量积运算，属于中档题．