Question

5．已知，x，y的方程组$\left\{\begin{array}{l}{mx+4y=2}\\{x+y=1}\end{array}\right.$．
（1）求D，D_x，D_y；
（2）当实数m为何值时方程组无解；
（3）当实数m为何值时方程组有解，并求出方程组的解．

Answer 1

分析 （1）根据方程组得解法求得D=m-4，D_x=-2，D_y=m-2；
（2）由线性方程组解得存在性，当丨A丨=0时，方程组无解；根据行列式的展开，求得m的值；
（3）由当$|\begin{array}{l}{m}&{4}\\{1}&{1}\end{array}|$≠0，方程组有唯一解，由（1）即可求得方程组的解．

解答 解：（1）$[\begin{array}{l}{m}&{4}\\{1}&{1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{2}\\{1}\end{array}]$，
D=m-4，D_x=-2，D_y=m-2                            （3分）
（2）由A=$[\begin{array}{l}{m}&{4}\\{1}&{1}\end{array}]$，当丨A丨=0，
即$|\begin{array}{l}{m}&{4}\\{1}&{1}\end{array}|$=m-4=0，解得：m=4，
∴当m=4，方程组无解                                     （5分）
（3）当$|\begin{array}{l}{m}&{4}\\{1}&{1}\end{array}|$≠0，解得：m≠4，方程组有唯一解，
由$\left\{\begin{array}{l}{mx+4y=2}&{①}\\{x+y=1}&{②}\end{array}\right.$，①-4×②解得：y=$\frac{m-2}{m-4}$，代入求得x=$\frac{-2}{m-4}$，
∴方程的解集为：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-2}{m-4}}\\{y=\frac{m-2}{m-4}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查方程组解得存在性，考查方程组的解与丨A丨的关系，行列式的展开，考查计算能力，属于基础题．