Question

5．设正数数列{a_n}的前n项和为b_n，数列{b_n}的前n项之积为c_n，且b_n+c_n=1，则数列{$\sqrt{\frac{1}{{a}_{n}}}$}的前n项和S_n中大于2016的最小项为第63项．

Answer 1

分析 由题意可得：a₁+a₂+…+a_n+a₁•（a₁+a₂）•…•（a₁+a₂+…+a_n）=1，可得a₁=$\frac{1}{2}$，a₂=$\frac{1}{6}$．…，猜想：a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．验证：成立．可得n＜$\sqrt{\frac{1}{{a}_{n}}}$=$\sqrt{n（n+1）}$＜n+1，进而得到$\frac{n（n+1）}{2}$＜S_n＜$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$，即可得出．

解答 解：由题意可得：a₁+a₂+…+a_n+a₁•（a₁+a₂）•…•（a₁+a₂+…+a_n）=1，
n=1时，a₁+a₁=1，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
n=2时，a₁+a₂+a₁•（a₁+a₂）=1，解得a₂=$\frac{1}{6}$．
…，猜想：a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．
验证：a₁+a₂+…+a_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$1-\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
∴a₁•（a₁+a₂）•…•（a₁+a₂+…+a_n）=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×…×$\frac{n}{n+1}$=$\frac{1}{n+1}$．
∴a₁+a₂+…+a_n+a₁•（a₁+a₂）•…•（a₁+a₂+…+a_n）=$1-\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+1}$=1．
∴n＜$\sqrt{\frac{1}{{a}_{n}}}$=$\sqrt{n（n+1）}$＜n+1，
∴$\frac{n（n+1）}{2}$＜S_n＜$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$，
∴2016＜S₆₃＜2080，
∴数列{$\sqrt{\frac{1}{{a}_{n}}}$}的前n项和S_n中大于2016的最小项为第63项．
故答案为：63．

点评 本题考查了递推关系、“裂项求和”方法、不等式的性质、“放缩法”，考查了猜想归纳推理能力与计算能力，属于中档题．