Question

10．数列{a_n}，{b_n}满足$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n+1}={-a}_{n}-2{b}_{n}}\\{{b}_{n+1}=6{a}_{n}+6{b}_{n}}\end{array}\right.$，且a₁=2，b₁=4．
（1）证明：{a_n+1-2a_n}为等比数列；
（2）求{a_n}，{b_n}的通项．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=-a_n-2b_n，可得：b_n=$-\frac{{a}_{n+1}+{a}_{n}}{2}$，b_n+1=-$\frac{{a}_{n+2}+{a}_{n+1}}{2}$，代入b_n+1=6a_n+6b_n，化简整理可得：a_n+2-2a_n+1=3（a_n+1-2a_n），即可证明．
（2）由（1）可得：a_n+1-2a_n=-14×3^n-1．化为：a_n+1+14×3ⁿ=2$（{a}_{n}+14×{3}^{n-1}）$，利用等比数列的通项公式可得：a_n，进而得到b_n．

解答 （1）证明：由a_n+1=-a_n-2b_n，可得：b_n=$-\frac{{a}_{n+1}+{a}_{n}}{2}$，
∴b_n+1=-$\frac{{a}_{n+2}+{a}_{n+1}}{2}$，代入b_n+1=6a_n+6b_n，
可得：-$\frac{{a}_{n+2}+{a}_{n+1}}{2}$=6a_n+6×（$-\frac{{a}_{n+1}+{a}_{n}}{2}$），
化为：a_n+2-2a_n+1=3（a_n+1-2a_n）．
a₂=-2-2×4=-10，a₂-2a₁=-14，
∴{a_n+1-2a_n}为等比数列，首项为-14，公比为3．
（2）解：由（1）可得：a_n+1-2a_n=-14×3^n-1．
化为：a_n+1+14×3ⁿ=2$（{a}_{n}+14×{3}^{n-1}）$，
∴数列$\{{a}_{n}+14×{3}^{n-1}\}$是等比数列，首项为16，公比为2．
∴a_n+14×3^n-1=16×2^n-1，
可得a_n=2ⁿ⁺³-14×3^n-1．
∴b_n=-$\frac{{2}^{n+4}-14×{3}^{n}+{2}^{n+3}-14×{3}^{n-1}}{2}$=28×3^n-1-3×2ⁿ⁺²．

点评 本题考查了等比数列的定义及其通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．