Question

20．把正奇数数列{2n-1}中的数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表：
设a_mn（m，n∈N^*）是位于这个三角形数表中从上往下数第m行、从左往右数第n个数．
（1）若a_mn=2017，求m，n的值；
（2）已知函数f（x）=$\frac{{\root{3}{x}}}{2^n}$（x＞0），若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为b_n，求数列{f（b_n）}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）三角形数表中前m行共有$1+2+3+…+m=\frac{m（m+1）}{2}$个数，可得：第m行最后一个数应当是所给奇数列中的第$\frac{m（m+1）}{2}$项．故第m行最后一个数是$2•\frac{m（m+1）}{2}-1={m^2}+m-1$．因此，使得a_mn=2016的m是不等式m²+m-1≥2017的最小正整数解．进而得出n．
（2）由于第n行最后一个数是n²+n-1，且有n个数，若将n²+n-1看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为-2的等差数列，故b_n=n³．可得$f（{b_n}）=\frac{n}{2^n}$．再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）三角形数表中前m行共有$1+2+3+…+m=\frac{m（m+1）}{2}$个数，
∴第m行最后一个数应当是所给奇数列中的第$\frac{m（m+1）}{2}$项．
故第m行最后一个数是$2•\frac{m（m+1）}{2}-1={m^2}+m-1$．
因此，使得a_mn=2016的m是不等式m²+m-1≥2017的最小正整数解．
由m²+m-1≥2017得m²+m-2018≥0，
∴$m≥\frac{{-1+\sqrt{1+8072}}}{2}＞\frac{{-1+\sqrt{7921}}}{2}=\frac{-1+89}{2}=44$，∴m=45．
于是，第45行第一个数是44²+44-1+2=1981，∴$n=\frac{2017-1981}{2}+1=19$．
（2）∵第n行最后一个数是n²+n-1，且有n个数，若将n²+n-1看成第n行第一个数，
则第n行各数成公差为-2的等差数列，故${b_n}=n（{n^2}+n-1）+\frac{n（n-1）}{2}（-2）={n^3}$．
∴$f（{b_n}）=\frac{n}{2^n}$．
故${S_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n-1}{{{2^{n-1}}}}+\frac{n}{2^n}$．
∴$\frac{1}{2}{S_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+…+\frac{n-1}{2^n}+\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}{S_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$=$\frac{{\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2^n}}）}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}=1-\frac{1}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$．
∴${S_n}=2-\frac{n+2}{2^n}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．