Question

10．已知关于x的函数f（x）=x+$\frac{2}{x-1}$．
（1）当x∈（1，+∞）时，求函数f（x）的最小值，并求出相应的x的值；
（2）求不等式f（x）≥-2的解集．

Answer 1

分析 （1）原函数解析式可变成$f（x）=（x-1）+\frac{2}{x-1}+1$，并判断x-1＞0，从而由基本不等式即可求出该函数的最小值，并求出对应x值；
（2）由f（x）≥-2便可得出$x+\frac{2}{x-1}≥2$，化简，通分便可得出$\frac{{x}^{2}+x}{x-1}≥0$，根据穿根法即可求得该不等式的解集．

解答 解：（1）$f（x）=（x-1）+\frac{2}{x-1}+1$且x-1＞0；
∴f（x）$≥2\sqrt{（x-1）\frac{2}{x-1}}+1=2\sqrt{2}+1$；
当且仅当$x-1=\frac{2}{x-1}$，即$x=\sqrt{2}+1$时，函数f（x）取得最小值$2\sqrt{2}+1$；
（2）$f（x）=x+\frac{2}{x-1}≥-2$$?x+2+\frac{2}{x-1}≥0$$?\frac{{{x^2}+x}}{x-1}≥0$$?\left\{\begin{array}{l}x（x+1）（x-1）≥0\\ x≠1\end{array}\right.$；
由标根法得：原不等式的解集为{x|-1≤x≤0或x＞1}．

点评 本题考查函数最值的定义及求法，基本不等式求最值的方法，以及分式不等式的解法，会用标根法．