Question

2．如图所示的四边形ABCD，已知$\overrightarrow{AB}$=（6，1），$\overrightarrow{BC}$=（x，y），$\overrightarrow{CD}$=（-2，-3）
（1）若$\overrightarrow{BC}∥\overrightarrow{DA}$且-2≤x＜1，求函数y=f（x）的值域；
（2）若$\overrightarrow{BC}∥\overrightarrow{DA}$且$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BD}$，求x，y的值及四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据条件求得x（2-y）-y（-x-4）=0，即$f（x）=-\frac{1}{2}x$，结合-2≤x＜1，可得y=f（x）的值域．
（2）根据$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=0，∴求得（x+6）•（x-2）+（y+1）•（y-3）=0，?又$\overrightarrow{BC}∥\overrightarrow{DA}$，由（1）得x+2y=0，联立求得x、y的值，从而求得四边形ABCD的面积．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=（x+4，y-2）$，
∴$\overrightarrow{DA}=（-x-4，2-y）$．
∵$\overrightarrow{BC}∥\overrightarrow{DA}且\overrightarrow{BC}=（x，y）$，∴x（2-y）-y（-x-4）=0，
∴$x+2y=0即y=-\frac{1}{2}x$，∴$f（x）=-\frac{1}{2}x$，
又∵-2≤x＜1，∴y∈（-$\frac{1}{2}$，1]，
即函数y=f（x）的值域为$（-\frac{1}{2}，1]$；
（2）∵$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=（x-2，y-3），\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=（x+6，y+1）$，
由$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BD}$，可得$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=0，∴（x+6）•（x-2）+（y+1）•（y-3）=0，?
又$\overrightarrow{BC}∥\overrightarrow{DA}$，由（1）得x+2y=0?，联立可得：$\left\{{\begin{array}{l}{x=-6}\\{y=3}\end{array}}\right.或\left\{{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-1}\end{array}}\right.$．
若x=-6，y=3，则$\overrightarrow{AC}$=（0，4），$\overrightarrow{BD}$=（-8，0），∴S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{BD}$|=16，
若x=2，y=-1，则$\overrightarrow{AC}$=（8，0），$\overrightarrow{BD}$=（0，-4），∴S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{BD}$|=16，
综上：四边形ABCD的面积为16．

点评 本题主要考查两个向量的加减法及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题．