Question

12．已知函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2sin²x
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 化简f（x）为正弦型函数，由此求出（1）函数f（x）的最小正周期T；（2）函数f（x）的最大值与最小值．

解答 解：函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2sin²x
=sin2xcos$\frac{π}{6}$+cos2xsin$\frac{π}{6}$+2•$\frac{1-cos2x}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+1
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1，
（1）函数f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）令2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，得x=$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
此时sin（2x-$\frac{π}{6}$）取得最大值1，对应函数f（x）取得最大值为1+1=2；
令2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，得x=-$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
此时sin（2x-$\frac{π}{6}$）取得最小值-1，对应函数f（x）取得最小值为1-1=0．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，是基础题目．