Question

5．若不等式组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-2＞0}\\{2{x}^{2}+（5+2k）x+5k＜0}\end{array}\right.$的整数解只有两个，则k的取值范围是[-4，-3）∪（4，5]．

Answer 1

分析 分别求出两个不等式的解，根据整数解的个数判断端点位置，列不等式解出k的范围．

解答 解：由x²-x-2＞0得x＜-1或x＞2，
解2x²+（5+2k）x+5k=0得x=-k或x=-$\frac{5}{2}$，
（1）当k$＞\frac{5}{2}$时，2x²+（5+2k）x+5k＜0的解为-k＜x＜-$\frac{5}{2}$，
∵不等式组有两整数解，
∴-5≤-k＜-4，解得：4＜k≤5．
（2）当k$＜\frac{5}{2}$时，2x²+（5+2k）x+5k＜0的解为-$\frac{5}{2}＜x＜-k$．
∵不等式组有两整数解，
∴3＜-k≤4，解得：-4≤k＜-3．
综上，k的取值范围是[-4，-3）∪（4，5]．
故答案为：[-4，-3）∪（4，5]．

点评 本题考查了不等式的解法，分类讨论思想，属于中档题．