Question

10．已知$\underset{lim}{x→∞}$（$\frac{x+a}{x-2a}$）^x=8，则常数a=ln2．

Answer 1

分析 化简$\underset{lim}{x→∞}$$（1+\frac{3a}{x-2a}）^{\frac{x-2a}{3a}×3a+2a}$，利用第二类重要极限，求得e^3a=8，解得a的值．

解答 解：$\underset{lim}{x→∞}$（$\frac{x+a}{x-2a}$）^x，
=$\underset{lim}{x→∞}$$（1+\frac{3a}{x-2a}）^{\frac{x-2a}{3a}×3a+2a}$，
=e^3a•$\underset{lim}{x→∞}$（1+$\frac{3a}{x-2a}$）^2a，
=e^3a，
∴e^3a=8，
解得：a=$\frac{1}{3}$ln8=ln$\root{3}{8}$=ln2，
故答案为：ln2．

点评 本题考查极限的运算，考查第二类重要极限的应用，考查转化思想，属于中档题．