Question

1．设f（x）=|lgx|，a，b满足f（a）=f（b）=2f（$\frac{a+b}{2}$）的实数，其中0＜a＜b，则4b-b²的取值范围是（　　）

• A． （1，2）
• B． （2，3）
• C． （3，4）
• D． （4，5）

Answer 1

分析 可画出f（x）的草图，从而可得出0＜a＜1＜b，从而得出-lga=lgb，从而有$a=\frac{1}{b}$，这样便可判断$\frac{1}{b}+b＞2$，进而得出$2f（\frac{a+b}{2}）=lg（\frac{\frac{1}{b}+b}{2}）^{2}=lgb$，化简即可得出$4b-{b}^{2}=\frac{1}{{b}^{2}}+2$，这样根据b＞1便可求出$\frac{1}{{b}^{2}}+2$的范围，即4b-b²的范围．

解答 解：画出f（x）的草图如下所示：
可看出0＜a＜1＜b；
∴f（a）=-lga，f（b）=lgb；
∴-lga=lgb；
∴$a=\frac{1}{b}$；
∴$a+b=\frac{1}{b}+b＞2$；
∴$\frac{a+b}{2}＞1$；
∴$2f（\frac{a+b}{2}）=2lg\frac{\frac{1}{b}+b}{2}=lgb$；
∴$b=（\frac{\frac{1}{b}+b}{2}）^{2}=\frac{\frac{1}{{b}^{2}}+{b}^{2}+2}{4}$；
∴$4b-{b}^{2}=\frac{1}{{b}^{2}}+2$；
b＞1，∴$0＜\frac{1}{{b}^{2}}＜1$；
∴2＜4b-b²＜3；
即4b-b²的取值范围是（2，3）．
故选B．

点评 考查借助函数图象解决问题的方法，能画出f（x）=|lgx|的草图，已知函数求值的方法，基本不等式，以及对数的运算．