Question

12．已知函数h（x）=ae^x的一条切线为y=ex．
（1）求a的值
（2）设x＞0，求证：h（x）＞1+x+$\frac{1}{2}$x²．

Answer 1

分析 （1）设切点，利用函数h（x）=ae^x的一条切线为y=ex，求a的值
（2）即证明1＞（1+x+$\frac{1}{2}$x²）e^-x（x＞0），构造函数，即可证明．

解答 （1）解：根据题意可设切点为（x₀，y₀）
则$a{e}^{{x}_{0}}$=ex₀，$a{e}^{{x}_{0}}$=e，
故a=1；
（2）证明：当x＞0时，h（x）＞1+x+$\frac{1}{2}$x²，即e^x＞1+x+$\frac{1}{2}$x²，
则1＞（1+x+$\frac{1}{2}$x²）e^-x（x＞0）
令g（x）=（1+x+$\frac{1}{2}$x²）e^-x，并求其最大值．
则g′（x）=（-$\frac{1}{2}$x²）e^-x．
所以在x＞0，g（x）恒减，所以g（x）＜g（0）=1，
故h（x）＞1+x+$\frac{1}{2}$x²．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何运用，考查不等式的证明，正确转化是关键．