Question

2．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2（$\frac{n+1}{n}$）²•a_n（n∈N^*）
（1）求证：数列$\{\frac{a_n}{n^2}\}$是等比数列，并求其通项公式；
（2）设b_n=3log₂（$\frac{a_n}{n^2}$）-26，求数列{|b_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=2，${a_{n+1}}=2{（1+\frac{1}{n}）^2}•{a_n}（n∈{N^*}）$，变形为$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{{（n+1）}^2}}}=2•\frac{a_n}{n^2}$，n∈N^*，利用等比数列的定义及其通项公式即可得出．
（2）由b_n=3n-26，可得b₁=-23．当n≤8时，b_n＜0，当n≥9时，b_n＞0．对n分类讨论，去掉绝对值符号，利用等差数列的求和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵a₁=2，${a_{n+1}}=2{（1+\frac{1}{n}）^2}•{a_n}（n∈{N^*}）$，
∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{{（n+1）}^2}}}=2•\frac{a_n}{n^2}$，n∈N^*，
∴$\{\frac{a_n}{n^2}\}$为等比数列，公比为2．
∴$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$=$\frac{{a}_{1}}{{1}^{2}}$×2^n-1=2ⁿ．
（2）∵${b_n}=3{log_2}（\frac{a_n}{n^2}）-26=3{log_2}{2^n}-26=3n-26$，∴b₁=-23．
当n≤8时，b_n=3n-26＜0，当n≥9时，b_n=3n-26＞0．
设数列{b_n}的前n项和为S_n，则
当n≤8时，T_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=（-b₁）+（-b₂）+…（-b_n）=-（b₁+b₂+…b_n）=-S_n
∴${T_n}=-\frac{{（{b_1}+{b_n}）•n}}{2}=-\frac{（-23+3n-26）}{2}=\frac{{49n-3{n^2}}}{2}$，
当n≥9时，
$\begin{array}{l}{T_n}=|{b_1}|+|{b_2}|+…|{b_8}|+|{b_9}|+…|{b_n}|\\=（-{b_1}）+（-{b_2}）+…（-{b_8}）+{b_9}+…+{b_n}=-（{b_1}+{b_2}+…+{b_8}）+（{b_9}+…+{b_n}）\\=-{S_8}+（{S_n}-{S_8}）={S_n}-2{S_8}\end{array}$
∴${T_n}=\frac{{（{b_1}+{b_n}）•n}}{2}-2•\frac{{（{b_1}+{b_8}）×8}}{2}=\frac{（-23+3n-26）•n}{2}+200=\frac{{3{n^2}-49n+400}}{2}$
综上，${T_n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{{49n-3{n^2}}}{2}（n≤8）\\ \frac{{3{n^2}-49n+400}}{2}（n≥9）\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的定义通项公式及其求和公式、对数运算性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．