Question

2．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中已知AB=AC=AA₁=2，∠BAA₁=∠CAA₁=60°，异面直线A₁C₁与BC成角为45°．
（1）求证：AA₁⊥BC；
（2）求二面角B-AA₁-C的余弦值；
（3）求直线A₁B于平面A₁AC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知△ABA₁，△ACA₁为等边三角形，取AA₁中点D，连结BD，CD，则可证AA₁⊥平面BCD，于是AA₁⊥BC；
（2）由AA₁⊥BD，AA₁⊥CD可知∠BDC为所求二面角的平面角，求出BD，CD，BC，在△BCD中使用余弦定理得出cos∠BDC；
（3）根据V${\;}_{B-{A}_{1}CD}$=V${\;}_{{A}_{1}-BCD}$求出B到平面A₁CD的距离h，则直线A₁B于平面A₁AC所成角的正弦值为$\frac{h}{{A}_{1}B}$．

解答 解：（1）证明：∵AB=AC=AA₁，∠BAA₁=∠CAA₁=60°，
∴△ABA₁，△ACA₁是等边三角形．
取AA₁中点D，连结BD，CD，则BD⊥AA₁，CD⊥AA₁，
又BD?平面BCD，CD?平面BCD，BD∩CD=D，
∴AA₁⊥平面BCD．又BC?平面BCD，
∴AA₁⊥BC．
（2）由（1）可知AA₁⊥BD，AA₁⊥CD，
∴∠BDC为二面角B-AA₁-C的平面角，
∵等边三角形ABA₁，ACA₁的边长为2，
∴BD=CD=$\sqrt{3}$，
∵AC∥A₁C₁，
∴∠ACB为异面直线A₁C₁与BC成角，即∠ACB=45°，
又AB=AC=2，∴BC=2$\sqrt{2}$．
在△BCD中，由余弦定理得cos∠BDC=$\frac{B{D}^{2}+C{D}^{2}-B{C}^{2}}{2BD•CD}$=$\frac{3+3-8}{2•\sqrt{3}•\sqrt{3}}$=-$\frac{1}{3}$．
二面角B-AA₁-C的余弦值为-$\frac{1}{3}$．
（3）设B到平面A₁CD的距离为h，则V${\;}_{B-{A}_{1}CD}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}CD}•h$，
又V${\;}_{B-{A}_{1}CD}$=V${\;}_{{A}_{1}-BCD}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•{A}_{1}D$，
∴$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}CD}•h$=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•{A}_{1}D$，
∵S${\;}_{△{A}_{1}CD}$=$\frac{1}{2}{A}_{1}D×CD$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，S_△BCD=$\frac{1}{2}CD×BD×sin∠BDC$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}h=\sqrt{2}×1$，∴h=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
∴直线A₁B于平面A₁AC所成角的正弦值为$\frac{h}{{A}_{1}B}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，空间角与空间距离的计算，属于中档题．