Question

6．下列命题中，正确的命题个数为（　　）
①△ABC的三边分别为a，b，c，则该三角形是等边三角形的充要条件为a²+b²+c²=ab+ac+bc；
②数列{a_n}的前n项和为S_n，则S_n=An²+Bn是数列{a_n}为等差数列的充要条件；
③在数列{a_n}中，a₁=1，S_n是其前n项和，满足S_n+1=$\frac{1}{2}$S_n+2，则{a_n}是等比数列；
④已知a₁，b₁，c₁，a₂，b₂，c₂都是不等于零的实数，关于x的不等式a₁x²+b₁x+c₁＞0和a₂x²+b₂x+c₂＞0的解集分别为P，Q，则$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$=$\frac{{c}_{1}}{{c}_{2}}$是P=Q的充分必要条件．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根据等边三角形的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断，
②根据等差数列的定义和性质进行判断，
③根据数列项和前n项和的关系，结合等比数列的定义进行判断．
④举反例进行判断即可．

解答 解：①若a=b=c，则a²+b²+c²=ab+ac+bc成立，
反之若a²+b²+c²=ab+ac+bc，则2（a²+b²+c^2）=2（ab+ac+bc），
整理得（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²=0，当且仅当a=b=c时成立故充分性成立，故①正确；
②当n=1时，a₁=A+B；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2An+B-A，
显然当n=1时也满足上式，
∴a_n-a_n-1=2A，
∴{a_n}是等差数列．
反之，若数列{a_n}为等差数列，
∴S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d=$\frac{d}{2}$n²+（a₁-$\frac{d}{2}$）n，
令A=$\frac{d}{2}$，B=a₁-$\frac{d}{2}$，则S_n=An²+Bn，A，B∈R．
综上，“S_n=An²+Bn，是“数列{a_n}为等差数列”的充要条件．故②正确，
③在数列{a_n}中，a₁=1，S_n是其前n项和，满足S_n+1=$\frac{1}{2}$S_n+2，
则当n≥2时，S_n=$\frac{1}{2}$S_n-1+2，
两式作差得S_n+1-S_n=$\frac{1}{2}$S_n+2-$\frac{1}{2}$S_n-1-2，
即a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n，
即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，（n≥2），
当n=1时，S₂=$\frac{1}{2}$S₁+2，
即a₁+a₂=$\frac{1}{2}$a₁+2，
即a₂=-$\frac{1}{2}$a₁+2=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
则$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{2}$≠$\frac{1}{2}$，
即{a_n}不是等比数列；故③错误，
④举反例，不等式x²+x+1＞0与x²+x+2＞0的解集都是R，
但是$\frac{1}{1}=\frac{1}{1}$≠$\frac{1}{2}$，则$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$=$\frac{{c}_{1}}{{c}_{2}}$是P=Q的充分必要条件错误，故④错误．
故正确的是①②，
故选：B．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及充分条件和必要条件，等比数列以及不等式的求解，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．