Question

14．设函数f（x）=ax²-2x+2，此函数在（1，4）上有零点，则a的取值范围为（0，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 先将f（x）=ax²-2x+2在（1，4）内有零点转化成方程ax²-2x+2=0在（1，4）内有解，然后将a分离出来，利用换元法求出等式另一侧的值域，从而求出a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=ax²-2x+2在（1，4）内有零点，
∴方程ax²-2x+2=0在（1，4）内有解，
即a=$\frac{2x-2}{{x}^{2}}$=$\frac{2}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$，x∈（1，4），
令$\frac{1}{x}$=t∈（$\frac{1}{4}$，1）
则a=2t-2t² t∈（$\frac{1}{4}$，1），
而h（t）=2t-2t²在（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）递增，在（$\frac{1}{2}$，1）递减，
而h（t）＜h（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，h（t）＞h（1）=0，
∴h（t）∈（0，$\frac{1}{2}$），
∴0＜a＜$\frac{1}{2}$，
故答案为：（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要考查了函数零点的判定，以及参数分离法的应用和二次函数的值域，同时考查了转化的思想和换元法的运用．